在《编程珠玑》一书的第二章提到了n元一维向量旋转算法（又称数组循环移位算法）的五种思路，并且比较了它们在时间和空间性能上的区别和优劣。本文将就这一算法做较为深入的分析。具体如下所示：
一、问题描述
将一个n元一维向量向左旋转i个位置。例如，假设n=8，i=3，向量abcdefgh旋转为向量defghabc。简单的代码使用一个n元的中间向量在n步内可完成该工作。你能否仅使用几十个额外字节的内存空间，在正比于n的时间内完成向量的旋转？
二、解决方案
思路一：将向量x中的前i个元素复制到一个临时数组中，接着将余下的n-i个元素左移i个位置，然后再将前i个元素从临时数组中复制到x中余下的位置。
性能：这种方法使用了i个额外的位置，如果i很大则产生了过大的存储空间的消耗。
C++代码实现如下：
/************************************************************************* > File Name: vector_rotate.cpp > Author: SongLee ************************************************************************/ #include<iostream> #include<string> using namespace std; int main() { string s = "abcdefghijklmn"; cout << "The origin is: " << s << endl; // 左移个数 int i; cin >> i; if(i > s.size()) { i = i%s.size(); } // 将前i个元素临时保存 string tmp(s, 0, i); // 将剩余的左移i个位置 for(int j=i; j<s.size(); ++j) { s[j-i] = s[j]; } s = s.substr(0, s.size()-i) + tmp; cout << "The result is: "<< s << endl; return 0; }
思路二：定义一个函数将x向左旋转一个位置（其时间正比于n），然后调用该函数i次。
性能：这种方法虽然空间复杂度为O(1)，但产生了过多的运行时间消耗。
C++代码实现如下：
/************************************************************************* > File Name: vector_rotate_1.cpp > Author: SongLee ************************************************************************/ #include<iostream> #include<string> using namespace std; void rotateOnce(string &s) { char tmp = s[0]; int i; for(i=1; i<s.size(); ++i) { s[i-1] = s[i]; } s[i-1] = tmp; } int main() { string s = "abcdefghijklmn"; cout << "The origin is: " << s << endl; // 左移个数 int i; cin >> i; if(i > s.size()) { i = i%s.size(); } // 调用函数i次 while(i--) { rotateOnce(s); } cout << "The result is: "<< s << endl; return 0; }
思路三：移动x[0]到临时变量t中，然后移动x[i]到x[0]中，x[2i]到x[i]，依次类推，直到我们又回到x[0]的位置提取元素，此时改为从临时变量t中提取元素，然后结束该过程（当下标大于n时对n取模或者减去n）。如果该过程没有移动全部的元素，就从x[1]开始再次进行移动，总共移动i和n的最大公约数次。
性能：这种方法非常精巧，像书中所说的一样堪称巧妙的杂技表演。空间复杂度为O(1)，时间复杂度为线性时间，满足问题的性能要求，但还不是最佳。
C++代码实现如下：
/************************************************************************* > File Name: vector_rotate_2.cpp > Author: SongLee ************************************************************************/ #include<iostream> #include<string> using namespace std; // 欧几里德（辗转相除）算法求最大公约数 int gcd(int i, int j) { while(1) { if(i > j) { i = i%j; if(i == 0) { return j; } } if(j > i) { j = j%i; if(j == 0) { return i; } } } } int main() { string s = "abcdefghijklmn"; cout << "The origin is: "<< s << endl; // 左移个数 int i; cin >> i; if(i > s.size()) { i = i%s.size(); } // 移动 char tmp; int times = gcd(s.size(), i); for(int j=0; j<times; ++j) { tmp = s[j]; int pre = j; // 记录上一次的位置 while(1) { int t = pre+i; if(t >= s.size()) t = t-s.size(); if(t == j) // 直到tmp原来的位置j为止 break; s[pre] = s[t]; pre = t; } s[pre] = tmp; } cout << "The result is: "<< s << endl; return 0; }
思路四：旋转向量x实际上就是交换向量ab的两段，得到向量ba，这里a代表x的前i个元素。假设a比b短。将b分割成bl和br，使br的长度和a的长度一样。交换a和br，将ablbr转换成brbla。因为序列a已在它的最终位置了，所以我们可以集中精力交换b的两个部分了。由于这个新问题和原先的问题是一样的，所以我们以递归的方式进行解决。这种方法可以得到优雅的程序，但是需要巧妙的代码，并且要进行一些思考才能看出它的效率足够高。
//实现代码（略）
思路五：（最佳）将这个问题看做是把数组ab转换成ba，同时假定我们拥有一个函数可以将数组中特定部分的元素逆序。从ab开始，首先对a求逆，得到arb，然后对b求逆，得到arbr。最后整体求逆，得到（arbr）r，也就是ba。
reverse(0, i-1) /*cbadefgh*/ reverse(i, n-1) /*cbahgfed*/ reverse(0, n-1) /*defghabc*/
性能：求逆序的方法在时间和空间上都很高效，而且代码非常简短，很难出错。
C++代码实现如下：
/************************************************************************* > File Name: vector_rotate.cpp > Author: SongLee ************************************************************************/ #include<iostream> #include<string> using namespace std; void reverse(string &s, int begin, int end) { while(begin < end) { char tmp = s[begin]; s[begin] = s[end]; s[end] = tmp; ++begin; --end; } } int main() { string s = "abcdefghijklmn"; cout << "The origin is: "<< s << endl; int i; cin >> i; if(i > s.size()) { i = i%s.size(); } reverse(s, 0, i-1); reverse(s, i, s.size()-1); reverse(s, 0, s.size()-1); cout << "The result is: "<< s << endl; return 0; }
三、扩展延伸
如何将向量abc旋转变成cba？
和前面的问题类似，此向量旋转对应着非相邻内存块的交换模型。解法很相似，即利用恒等式：cba = （arbrcr）r
注意：在面试或笔试时，如若出现向量旋转（内存块交换）问题，建议最好使用思路五答题，不仅高效而且简洁。
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